Задачи с решениями обучающего характера.  

Задачи с решениями обучающего характера.

123

Занятие 1

1.Диагностический тест по проверке знания теории по теме: «Построение сечений многогранника плоскостью»

1.Сколько точек, принадлежащих двум различным плоскостям, надо

определить, чтобы построить линию пересечения этих двух плоскостей?

2. Плоскостям каких граней принадлежит точка: а)M ; б)K ; в)F;г)P; д)E

3. Найдите точку пересечения прямой MN и плоскости С 1BC

4. С какими прямыми грани ABC, содержащими рёбра этой грани, пересекаются прямые а) DN; б)CN?

5. С какими прямыми грани AA1B, содержащими рёбра, пересекаются прямые а) FN б)FB?

6.Точки M и N принадлежат грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1 .

C какими гранями куба пересекается прямая MN?

7.Точки M и N принадлежат грани AA1B1B куба ABCDA1B1C1D1 C какими гранями куба пересекается прямая MN?

8. C какими гранями куба ABCDA1B1C1D1 пересекается прямая MN?

9. Постройте линию пересечения плоскости MNK с гранью AA1 D1D

10. Постройте линию пересечения плоскости MNK с гранью СС1D1D

11. Постройте линию пересечения плоскости MNK с гранью BB1С1C

12. Постройте линию пересечения плоскости MNK с гранью A1B1C1D1

13 Постройте линию пересечения плоскости MNK с гранью A BC

14.Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью MN K

15.Посторойте сечение куба ABCDA1B1C1D1плоскостью MNL

Ответы: 1. две; 2. а) BB1C1C и ABCD; б)BB1C1C и АА1В1В; в) ABCD и АА1В1В; г) A1B1C1D1 и АА1В1В; д) DD1C1C и ABCD; 4. а) со всеми; б) со всеми; 5. а) со всеми; б) со всеми; 6. АА1В1В, BB1C1C, DD1C1C, АА1D1D; 7. BB1C1C ; АА1D1D;ABCD; A1B1C1D1 8. cо всеми.

Задачи с решениями обучающего характера.

Задача1. Ученик нарисовал четырехугольник ABCD. Прямая AD лежит в плоскости a, прямая BC пересекает плоскость a в точке K. Есть ли ошибка на рисунке ? Если есть, то сделайте верный рисунок.

Решение:

По условию прямая AD лежит в плоскости a и ADÎ(ABC) (рис.73).

Согласно аксиоме пересечения плоскостей (если

две плоскости имеют общую

точку, то их пересечение есть их общая прямая) получаем, что AD– прямая пересечения плоскостей a и (ABC). Значит, при пересечении любой прямой, лежащей в плоскости (ABC),плоскости a, точка их пересечения будет лежать на прямой AD.

Следовательно , BCÇa=M, MÎAD. ▄

Задача2. Ученик нарисовал четырехугольник АВСD (рис.74). Точка D лежит в плоскости a. Прямая AB пересекает плоскость a в точке K, прямая BC пересекает плоскость a в точке L. Есть ли ошибка на рисунке? Если есть, то сделайте верный рисунок.

Решение: .

Согласно аксиоме пересечения плоскостей, на которую мы опирались при

решении предыдущей задачи, точки пересечения плоскости a прямыми AB и BC будут



лежать на одной прямой с точкой D. Поэтому верный рисунок будет иметь следующий вид (рис.75):

Задача3.Ученик нарисовал сечение тетраэдра плоскостью (рис.76), причем на рисунке а точка Q – в грани ABC, на рисунке б точка K – в грани PAC, на рисунке в точка К – в грани PAC, точка L – в грани РВС, на рисунке г точка К– в грани PAВ, точка L – в грани РАС, точка М – в грани

РВС.

Есть ли ошибка на рисунках?

Решение:

а) Построить сечение многогранника – это значит найти пересечение заданной плоскости с теми гранями многогранника, которые имеют с плоскостью общие точки. На рисунке а видно, что грань РВС имеет с плоскостью АPQ общую точку Р, а линия пересечения с этой граню не найдена. Не найдена также точка пересечения прямой АQ с прямой ВС в грани АВС.

АРК – правильное сечение (рис.77).

б) В данном случае не найдена точка пересечения прямой СК с прямой АР в грани АРС, линия пересечения с гранью АРВ, имеющую с данной плоскостью общую точку L.

CML – правильное сечение (рис.78).

в) В данном примере ошибка заключается в следующем: не найдены точки пересечения прямой СК с прямой АР в грани АРС и прямой СL c прямой ВР в грани CPB.

CKÇAP=M; CLÇBP=N; MÎ(APB); NÎ(APB); Þ MNÎ(APB)

CMN – правильное сечение (рис.79).

г) Данная плоскость КLМ не является сечением тетраэдра, поскольку в каждой грани находятся по одной точке этой плоскости и не найдены ее линии пересечения с гранями тетраэдра.

REFN - правильное сечение (рис.80).

д) Данное сечение не является правильным, так как оно пересекает грань АРС по двум различным прямым.

Правильное сечение может иметь следующий вид (рис.81,82):

е) В данном случае плоскость АЕ не является сечением тетраэдра, потому что линией пересечения данной плоскости с гранью АВС будет прямая АЕ

.

АЕ – правильное сечение (рис.83).

ж) Ошибка в данном примере заключается в следующем: К, МÎАВ; L,NÎPC Þ KMÎAB,LNÎPC, а через прямые АВ и PC невозможно провести плоскость.

В зависимости от выбора трех точек, необходимых для построения плоскости, сечение тетраэдра может иметь вид (рис.84,85):

з) Сечение тетраэдра плоскостью выполнено не правильно. LMççAB. Это значит ,что прямая, проходящая через точку К, должна быть параллельна прямой АВ.

Правильное сечение может иметь следующий вид (рис.86,87):

Задача45.Ученик нарисовал сечение куба плоскостью. Есть ли ошибки на рисунках? Если есть , то где сможете, сделайте верный рисунок.

Решение:

а) Ошибка в данном примере заключается в том, что плоскость (А1КL) пересекает грань (АА1D1) по двум различным прямым А1N и NМ.

Правильное сечение имеет следующий вид (рис.89):

б) Плоскость КLМN не является сечением куба, так как не найдена линия пересечения данной плоскости с гранью АА1В1В, которая имеет с ней общую точку К.

Правильное сечение имеет следующий вид (рис.90):

Задача5.Плоскость пересекает тетраэдр. Сколько она при этом пересечет: а) его ребер; б) его граней?

Решение:

На рисунке 91 видно, что плоскость (КРL) при движении точек К и L вдоль ребер АС и ВС соответственно пересекает 2 ребра и 3 грани тетраэдра.

На рисунке 92 видно, что плоскость (АКС) при движении точки К вдоль ребра РВ пересекает 6 ребер и 4 грани тетраэдра. Плоскости (МRК) и (ZКХ) будут пересекать по 3 ребра и 3 грани тетраэдра каждая.

На рисунке 93 показано, что плоскость (ЕDF) пересекает 4 ребра и 4 грани.

Домашнее задание:

«Стереометрия в задачах и таблицах» - таблицы 1- 2 и задачи к ним.


Занятиие 2


3156643189508927.html
3156707806496383.html
    PR.RU™